Question

△ABC和△EFG是两块完全重合的等边三角形纸片（如图①所示），O是AC（或EF）的中点，△ABC不动，将△EFG绕O点顺时针转α（0°＜α°＜120°）．
（1）试分别说明α是多少度时，点F在△ABC外部、BC上、内部（不证明）？
（2）当点F不在BC上时，在图②、图③两种情况下（设EF或延长线与BC交于P，EG与CA或延长线交于Q），分别写出OP与OQ的数量关系，并从图②、③中选一种情况给予证明．

Answer

（1）按照α=60°，0＜α＜60°，60°＜α＜120°分类说明；
（2）利用ASA，寻找证明三角形全等的条件．
【解析】
（1）当0°＜α＜60°，点F在△ABC的外部，
当α=60°，点F在BC的中点，
当60°＜α＜120°，点F在△ABC的内部；

（2）两种情况下均有OP=OQ；
证明：如图③，∠E=∠C=60°，OE=OC=AC，∠EOQ=∠COP，
∴△EOQ≌△COP，
∴OP=OQ．