Question

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．
（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED；
（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD²=DE•DF，为什么？

Answer

（1）作辅助线，连接OC．根据切线的性质，OC⊥PC．根据PC=PF，OC=OA，可得：∠PCF=∠PFC，∠OCF=∠OAC．
在Rt△FHA中，可得：∠FHA=90°，故AB⊥ED；
（2）根据AD2=DE•DF，可得：△FAD∽△AED，∠FAD=∠DEA．从而可知：=，即D在劣弧AC的中点．
（1）证明：连接OC，∵PC为⊙O的切线，
∴∠OCP=∠FCP+∠OCF=90°，
∵PC=PF，
∴∠PCF=∠PFC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠CFP=∠AFH，
∴∠AFH+∠OAC=90°，
∴∠AHF=90°，
即：AB⊥ED．

（2）【解析】
D在劣弧AC的中点时，才能使AD2=DE•DF．
连接AE．若AD2=DE•DF，
可得：△FAD∽△AED，
∴∠FAD=∠DEA，
∴=．
即D为劣弧AC的中点时，能使AD2=DE•DF．