Question

如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，弧BA等于弧AF，BF与AD交于E，
求证：（1）∠BAD=∠ACB；（2）AE=BE．

Answer

（1）BC是直径，可证∠BAC=90°，从而AD为Rt△ABC的斜边上的高，利用互余关系可证∠BAD=∠ACB；
（2）根据弧BA等于弧AF，可知它们所对是圆周角相等，即∠ACB=∠ABF，利用（1）的结论得∠ABF=∠BAD，可证△ABE为等腰三角形．
证明：（1）∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
又AD⊥BC，
∴∠ACB+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠ACB；

（2）∵弧BA等于弧AF，
∴∠ACB=∠ABF，
∵∠BAD=∠ACB，
∴∠ABF=∠BAD，
∴AE=BE．