Question

已知二次函数y₁=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，-）．
（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象；
（2）若反比例函数y₂=（x＞0）的图象与二次函数y₁=ax²+bx+c（a≠0）的图象在第一象限内交于点A（x，y），x落在两个相邻的正整数之间，请你观察图象，写出这两个相邻的正整数；
（3）若反比例函数y₂=（x＞0，k＞0）的图象与二次函数y₁=ax²+bx+c（a≠0）的图象在第一象限内的交点A，点A的横坐标x满足2＜x＜3，试求实数k的取值范围．

Answer

（1）已知了抛物线与x轴的交点，可用交点式来设二次函数的解析式．然后将另一点的坐标代入即可求出函数的解析式．
（2）可根据（1）的抛物线的解析式和反比例函数的解析式来联立方程组，求出的方程组的解就是两函数的交点坐标，然后找出第一象限内交点的坐标，即可得出符合条件的x的值，进而可写出所求的两个正整数．
（3）点A的横坐标x满足2＜x＜3，可通过x=2，x=3两个点上抛物线与反比例函数的大小关系即可求出k的取值范围．
【解析】
（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）（x+3），
将（0，-）代入，解得a=．
∴抛物线解析式为y=x2+x-．

（2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图象，
由图象可知，交点的横坐标x落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2．

（3）由函数图象或函数性质可知：当2＜x＜3时，
对y1=x2+x-，y1随着x增大而增大，
对y2=（k＞0），y2随着x的增大而减小．
因为A（x，y）为二次函数图象与反比例函数图象的交点，
所以当x=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，
即＞×22+2-，
解得k＞5．
同理，当x=3时，由二次函数图象在反比例上方得y1＞y2，
即×32+3-＞，
解k＜18，
所以K的取值范围为5＜k＜18．