Question

已知关于x的方程x²+（2k+1）x+k²-2=0有两个不相等的实数根，
（1）试求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得此方程两根的平方和等于11？若存在，求出相应的k值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围；
（2）设两根为a、b，根据根与系数的关系可得a+b=-（2k+1），ab=k2-2，则a2+b2=（a+b）2-2ab=[-（2k+1）]2-2（k2-2）=2k2+4k+5，由题意得2k2+4k+5=11，求解即可．
【解析】
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=（2k+1）2-4（k2-2）=4k+9＞0，
解得：k＞-；

（2）存在．设两根为a、b，根据根与系数的关系可得a+b=-（2k+1），ab=k2-2，
则a2+b2=（a+b）2-2ab=[-（2k+1）]2-2（k2-2）=2k2+4k+5，
由题意得2k2+4k+5=11，
解得k=-3或1，
∵k＞-
∴当k=1，此方程两根的平方和等于11．