Question

某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
（3）请画出上述函数的大致图象．

Answer

（1）根据题意，卖出了（60-x）（300+20x）元，原进价共40（300+20x）元．
则y=（60-x）（300+20x）-40（300+20x）．
（2）根据x=-时，y有最大值．
（3）根据1，2得出函数的大致图象．
【解析】

（1）y=（60-x）（300+20x）-40（300+20x），（3分）
即y=-20x2+100x+6000．（4分）
因为降价要确保盈利，所以40＜60-x≤60（或40＜60-x＜60也可）．
解得0≤x＜20（或0＜x＜20）．（6分）

（2）当时，（7分）
y有最大值，
即当降价2.5元时，利润最大且为6125元．（8分）

（3）函数的大致图象为（注：右侧终点应为圆圈，若画成实点扣（1分）；左侧终点两种情况均可．）（10分）