Question

如图①，AB为⊙O的直径，Q为AB上任意一点，射线PQ⊥AB于Q，C为QP上任意一点，直线AC与⊙O交于点D，过D作⊙O的切线交QP于P．
（1）当Q在OB上时，求证：PC=PD；
（2）当Q在点O时（如图2），PC=PD是否成立？
（3）当Q在点B时（如图3），结论是否成立．

Answer

（1）连接OD，则OD⊥PD．欲证PC=PD，只需证∠PCD=∠PDC即可．∠PCD=∠ACQ=90°-∠A；∠PDC=90°-∠ODA．因为OA=OD，所以∠A=∠ODA．问题得证；（2）、（3）同理可证结论成立．
证明：（1）连接OD．
∵PD是⊙O的切线，
∴∠PDC+∠ADO=90°．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∴∠PDC+∠A=90°．
∵PQ⊥AB，∴∠ACQ+∠A=90°．
∵∠ACQ=∠PCD，
∴∠PCD=∠PDC．
∴PC=PD．

（2）Q在点O时，结论成立．连接OD．
∵PD是⊙O的切线，
∴∠PDC+∠ADO=90°．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵PQ⊥AB，
∴∠ACO+∠A=90°．
∵∠ACO=∠PCD，
∴∠PCD=∠PDC．
∴PC=PD．
∴Q在点O时，结论成立．

（3）Q在点B时，结论也成立．
连接OD．
∵PD是⊙O的切线，
∴∠ODP=90°．
∴∠PDC+∠ADO=90°．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵PQ⊥AB，
∴∠ACB+∠A=90°．
∴∠ACB=∠PDC．
∴PC=PD．
∴Q在点B时，结论也成立．