Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且A，B两点也是⊙M与该直线的交点．
（1）求出A，B的坐标；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上且抛物线经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，判断是否存在x轴上的点P，使以P，O，B为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）令已知的直线的解析式中x=0，可求出B点坐标，令y=0，可求出A点坐标；
（2）根据A、B的坐标易得到M点坐标，若抛物线的顶点C在⊙M上，那么C点必为抛物线对称轴与⊙O的交点；根据A、B的坐标可求出AB的长，进而可得到⊙M的半径及C点的坐标，再用待定系数法求解即可；
（3）在（2）中已经求得了C点坐标，即可得到AC、BC的长；由圆周角定理知∠ACB=90°，所以此题可根据两直角三角形的对应直角边的不同来求出不同的P点坐标．
【解析】
（1）直线中，y=0，则x=8；x=0，则y=-6；
∴A（8，0），B（0，-6）；

（2）由于AB是⊙M的直径，则有：M（4，-3）；
Rt△OAB中，OA=8，OB=6，由勾股定理得：AB=10；
∴C点坐标为（4，2）或（4，-8）；
当C点坐标为（4，2）时，设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+2（a≠0），则有：
a×16+2=-6，解得a=-；
当C点坐标为（4，-8）时，设抛物线的解析式为y=a′（x-4）2-8（a′≠0），则有：
a′×16-8=-6，解得a′=；
∴抛物线的解析式为：y=-（x-4）2+2或y=（x-4）2-8；
即y=-x2+4x-6或y=x2-x-6；

（3）假设存在符合条件的P点；
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠POB=90°；
需要分两种情况：
①当C点坐标为C（4，2）时，AC=2，BC=4；
若以P，O，B为顶点的三角形与△ABC相似，则有：△POB∽△ACB或△POB∽△BCA；
得：或；
∵OB=6，∴OP=3或12，即P（3，0）或（12，0）；
②当C点坐标为C′（4，-8）时，由于CC′、AB同为⊙M的直径，所以四边形AC′BC是矩形，则△ACB与△AC′B全等，所以此种情况同①；
因此存在符合条件的P点，且P点坐标为：（3，0）或（12，0）．