Question

如图，已知△ABC中，∠C=∠ABC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果BC=10，CE=4，求直径AB的长．

Answer

（1）连接OD，根据等腰三角形的性质或平行线的性质易得OD⊥DE，故DE与⊙O相切．
（2）本题方法较多，需连接AD，分析图形，通过相似三角形的性质或三角函数的定义求出AB的值即可．
【解析】

（1）方法一：DE与⊙O相切；（1分）
理由：连接OD，（2分）
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠BDO；（3分）
又∵∠C=∠ABC，
∴∠BDO=∠C；
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠CDE=90°，
∴∠BDO+∠CDE=90°，（4分）
∴∠EDO=180°-（∠BDO+∠CDE）=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．（5分）
方法二：DE与⊙O相切；（1分）
理由：连接OD；（2分）
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠BDO；（3分）
又∵∠C=∠ABC，
∴∠C=∠BDO，
∴OD∥AC，（4分）
∴∠EDO=∠CED；
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．（5分）

（2）方法一：连接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°；
∴AD⊥BC；（7分）
∴BD=CD=BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°；
在Rt△CDE中，cosC=，
在Rt△ACD中，cosC=，
∴，（9分）
即；
∴AC=，
∴AB=．（10分）

方法二：连接AD．（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，（7分）
∴AD⊥BC，
∴BD=CD=BC=5．（8分）
在Rt△CDE中，cosC=，
在Rt△ADB中，cos∠ABD=，
又∵∠C=∠ABC，
∴，
即；（9分）
∴AB=．（10分）

方法三：连接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，（7分）
∴CD=BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠CDA；
又∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CDA，（9分）
∴，即，
∴CA=；
∴AB=．（10分）

方法四：连接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，（7分）
∴BD=CD=BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠ADB；
又∵∠C=∠ABC，
∴△CED∽△BDA，（9分）
∴，
即，
∴AB=．（10分）