Question

已知抛物线C₁：y=-x²+2mx+1（m为常数，且m≠0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，其顶点为B．若点P是抛物线C₁上的点，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则m为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由于C1、C2关于y轴对称，则A、B也关于y轴对称，即AB∥x轴；根据C1的解析式易知：C（0，1），A（m，m2+1）；若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则CP∥AB，且AP=CP；由此可知P点纵坐标和点C相同也为1，代入C1的解析式可求出P点坐标；根据坐标系两点间距离公式可表示出AP、CP的长，根据AP=CP，可列出关于m的方程，即可得出m的值．
【解析】
易知：C（0，1），A（m，m2+1）；
若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则CP∥AB①，CP=AP②；
由①得：点P与点C纵坐标相同，将y=1代入C1，
得：x=0或x=2m，
即P（2m，1）；
由②得：（2m）2=m2+（m2+1-1）2，
即m2=3，
解得m=±；
故选A．