Question

己知：如图1，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（O，-4），与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P（t，O）是线段AB上一动点（不与A、B重合），过P点作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△CPE的面积S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；
（3）如图2，若平行于x轴的动直线r与该抛物线交于点Q，与直线AC交于F，点D的坐标为（2，0）．问是否存在这样的直线r，使得△0DF为等腰三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（!）A，C两点的坐标代入解析式即可．
（2）通过相似表示出E点坐标，利用面积的差求△PEC面积．
（3）△ODF为等腰三角形，没有确底边，要分类讨论，由线段相等求出Q点坐标，然后代入抛物线的解析式求解．
【解析】
（1）由题意得，
解得
∴该抛物线的函数解析式为y=0.5x2-x-4；

（2）过点E作EG⊥x轴于G，
由0.5x2-x-4=0，
得x1=-2，x2=4．
AB=6，BP=2+t，
证△BPE∽△BAC，可得EG=（t+2），
S=S△CPB-S△BPE=BP•CO-BP•EG=（t+2）（4-（t+2））=-t2+t+
-2＜t＜4．

（3）这样的Q点存在，使得△ODF为等腰三角形．
①当OF=DF时，Q（x．-3）
0.5x2-x-4=-3，x=1，
∴，
②当OD=DF=2时，Q（x，-2）
0.5x2-x-4=-2，x=1±，
∴，．