Question

附加题：
（1）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是______．

（2）阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

解答下列问题：
如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
①求抛物线和直线AB的解析式；
②点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB；
③点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S_△PAB=S_△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）连接AD，AC，易证△ACD∽△PAD，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（2）①已知抛物线的顶点和抛物线上的几点，即可利用待定系数法求解析式；
②C点坐标为（1，4），根据三角形的面积公式即可求解；
③根据S△PAB=S△CAB即可得到一个关于点P的横坐标的方程，即可求出x的值．进而得到P点的坐标．
【解析】
（1）连接AC

∵AD=BD，
∴∠ACD=∠ABD=∠DAB
又∵∠ADP=∠CDA
∴△ACD∽△PAD
∴=
∴设PD=x，则CD=x+6，
=
解得：x=-8或2
所以CD=6+2=8；

（2）【解析】
①设抛物线的解析式为：y1=a（x-1）2+4（1分）
把A（3，0）代入解析式求得a=-1
所以y1=-（x-1）2+4=-x2+2x+3（2分）
设直线AB的解析式为：y2=kx+b
求得B点的坐标为（0，3）（3分）
把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中
解得：k=-1，b=3
所以y2=-x+3（4分）
②因为C点坐标为（1，4）
所以当x=1时，y1=4，y2=2
所以CD=4-2=2（6分）（7分）
③假设存在符合条件的点P，设点P的横坐标是x，△PAB的铅垂高为h，
则h=y1-y2=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x（8分）
由S△PAB=S△CAB
得：，化简得：4x2-12x+9=0
解得，，
将代入y1=-x2+2x+3中，
解得P点坐标为（10分）