Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF=CE．
求证：四边形ACEF是平行四边形．

Answer

已知了AF=EC，只需证明AF∥EC即可．DE垂直平分BC，易知DE是△ABC的中位线，则FE∥AC，BE=EA=CE=AF；因此△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F=∠5=∠1=∠2，即∠FAE=∠AEC，由此可证得AF∥EC．
证明：∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD，且ED∥AC
∴ED是△ABC的中位线．
∴BE=AE，FD∥AC．
Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴CE=AE=AF．
∴∠F=∠5=∠1=∠2．
∴∠FAE=∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF=EC，
∴四边形ACEF是平行四边形．