Question

如图在梯形ABCD中，AD∥BC，E是梯形内一点，ED⊥AD，∠EBC=∠EDC，∠ECB=45°．
（1）求证：BE=CD；
（2）若梯形ABCD为等腰梯形且DE=3，tan∠DCB=4，试求四边形ABED的周长．

Answer

（1）利用作辅助线的方法，证明△BEF和△DCF全等，从而得到BE=CD，
（2）由tan∠DCB=4，根据给出的三角函数的定义，在△DCF中，tan∠DCB=，过A作AH⊥BC于H，
设EF=CF=x，代入求得x的值，从而求出CD的长，由三角形的全等，CD=BE，证明△AHB≌△DFC，四边形ADFH是矩形，AD=HF，求得答案．
【解析】
（1）延长DE交BC于F，
∵AD∥BC，
且ED⊥AD，
∴DE⊥BC，
又∵∠ECB=45°，
∴△ECF为等腰直角三角形．
∴EF=CF，（（2分）
∴在△BEF和△DCF中
，
∴△BEF≌△DCF，（4分）
∴BE=CD；（5分）

（2）过A作AH⊥BC于H．
设EF=CF=x，
∵Rt△DCF中，
tan∠DCB=，
∴，
x=1，
∴EF=CF=1，（6分）
∴DF=DE+EF=4，
∴BF=DF=4，
∴在Rt△DFC中，
，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=CD=，
又∵△BEF≌△DCF，
∴BE=CD=，（7分）
又∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=CD，
又∵AD∥BC且AH⊥BC，DF⊥BC，
∴AH=DF，
∴在Rt△AHB和△DFC中，
，
∴△AHB≌△DFC（HL），（8分）
∴BH=CF=1，
∴HF=BF-BH=4-1=3，（9分）
∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD，
=，
=．（10分）