Question

如图，BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）若=3，F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H，且=3，求证：△AHG是等腰三角形．

Answer

（1）根据矩形的判定定理和已知条件，由角平分线性质可以得到∠EBD是90°，又AE⊥BE，AD⊥BD，可知∠E、∠D都是直角，所以四边形是矩形．
（2）根据已知条件和等腰三角形的判定定理，连接ED，根据一直关系，可以得到，所以FG∥ED，可得∠AGH=∠ADO，而AB、ED是矩形的角平分线，所以OA=OD，所以∠ADO=∠BAD，再利用等量代换即可得∠AGH=∠BAD．
证明：（1）∵BD、BE分别是∠ABC与∠ABP的平分线，
∴∠ABD+∠ABE=×180°=90°，
即∠EBD=90°，
又∵AE⊥BE，AD⊥BD，E、D是垂足，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形．

（2）连接ED交AB于O，
∵=3，=3，
∴，
∴FG∥ED，
∴∠ADO=∠AGH，
∵四边形AEBD是矩形，
∴AB=DE，O是AB、DE的中点，
∴OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠AGH=∠ADO=∠DAO，
∴AH=GH，
∴△AGH是等腰三角形．