Question

已知：二次函数y=x²-mx-4．
（1）求证：该函数的图象一定与x轴有两个不同的交点；
（2）设该函数的图象与x轴的交点坐标为（x₁，0）、（x₂，0），且，求m的值，并求出该函数图象的顶点坐标．

Answer

判断二次函数y=x2-mx-4的图象与x轴的交点情况，相当于求方程x2-mx-4=0的判别式符号，本题就是要证明△＞0；
二次函数图象与x轴的两交点的横坐标x1，x2也就是方程x2-mx-4=0的两根，可运用根与系数关系解题．
【解析】
（1）因为△=m2+16＞0，所以一元二次方程x2-mx-4=0有两个不相等的实数根，
因而函数y=x2-mx-4的图象一定与x轴有两个不同的交点；

（2）因为该函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0）、（x2，O），
所以x1，x2是方程x2-mx-4=0的两个实数根，
所以x1+x2=m，x1•x2=-4．
由得，
因此m=4．
所以二次函数的解析式为y=x2-4x-4=（x-2）2-8，因此顶点坐标为（2，-8）．