Question

已知抛物线y=-ax²+2ax+b与x轴的一个交点为A（-1，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式．

Answer

（1）根据对称轴公式，对称轴x=-=1，根据抛物线的对称性，A（-1，0）、B两点关于对称轴的对称，可推出B点坐标；
（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，△ABC为直角三角形，已知OA=1，OB=3，由△AOC∽△COB，利用相似比可求OC，即C点坐标，设抛物线解析式的交点式，将C点坐标代入即可．
【解析】
（1）根据抛物线的对称轴公式及抛物线的对称性可知，
对称轴为直线x=1，B（3，0）；

（2）连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴=，即=
解得CO=，即C（0，）
设过A（-1，0），B（3，0）两点的抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3）
将C（0，）代入得-3a=，a=-
∴y=-（x+1）（x-3），
即y=-x2+x+．