Question

平面直角坐标系内有两条直线l₁、l₂，直线l₁的解析式为，如果将坐标纸折叠，使直线l₁与l₂重合，此时点（-2，0）与点（0，2）也重合．
（1）求直线l₂的解析式；
（2）设直线l₁与l₂相交于点M，问：是否存在这样的直线l：y=x+t，使得如果将坐标纸沿直线l折叠，点M恰好落在x轴上？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）设直线l₂与x轴、y轴分别交于点A、B，点P（a，0）在x轴正半轴上运动，点Q（0，b）在y轴负半轴上运动，且PQ⊥AB，若△APQ是等腰三角形，求a，b．

Answer

（1）先求出在直线l1上的两个点的坐标，然后折叠再求出相应的两点坐标，最后求出直线l2的解析式；
（2）先求出点M的坐标，然后根据题中已知条件看是否存在直线1；
（3）求出A、B的坐标，然后根据△APQ是等腰三角形，且PQ⊥AB来求出a，b．
【解析】
如图所示：
（1）∵点（-2，0）与点（0，2）重合，可知折叠痕迹为y=-x；
直线l1经过点（0，1），（1.5，0）．
可知对称的点为（-1，0），（0，-1.5）．
设直线l2解析式为：y=kx+b；
将点的坐标代入可得：，
解得：；
则直线l2的解析式为：y=-1.5x-1.5；

（2）直线l1与l2相交于点M，
则M的坐标为（-3，3）；
因为直线1的斜率为k=1，
而点M关于斜率为1的直线的对称点必在直线y=-x上面，
所以点M关于直线l的对称点为O（0，0），
可知点M和点O关于（-1.5，1.5）对称，
将点（-1.5，1.5）代入直线l中可得解析式为：y=x+3；
所以存在直线l：y=x+3，使得如果将坐标纸沿直线l折叠，点M恰好落在x轴上；

（3）根据直线l2解析式可得A（-1，0），B（0，-1.5）；
因为PQ⊥AB可知直线PQ的斜率为k==；
可设b=-2t，则a=3t，t＞0；
①AQ=PQ，则PO=AO，
所以a=1，b=；
②当AP=AQ，3t+1=⇒t=0或t=，
不合题意，舍去；
③当AP=PQ，3t+1=t，
解得t=或t=（舍去），a=，b=-；
所以或．