Question

如图1、图2、图3，在矩形ABCD中，E是BC边上的一点，以AE为边作平行四边形AEFG，使点D在AE的对边FG上，
（1）如图1，试说明：平行四边形AEFG的面积与矩形ABCD的面积相等；
（2）如图2，若平行四边形AEFG是矩形，EF与CD交于点P，试说明：A、E、P、D四点在同一个圆上；
（3）如图3，若AB＜BC，平行四边形AEFG是正方形，且D是FG的中点，EF交CD于点P，连接PA，判断以FG为直径的圆与直线PA的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）作出AE边上的高，分别得出长方形和平行四边形的面积表达式，可得其结果相同，从而说明平行四边形AEFG的面积与矩形ABCD的面积相等．
（2）先求出∠ADC=∠FEA=90°，再根据圆内接四边形的判定定理：“如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆”解答．
（3）过D作DH⊥AP于H，根据∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°，可得∠3=∠1，可求出△ADG∽△AEB；再根据D是FG的中点可求出其相似比为2，再由△ADG与△AEB相似可得其对应边成比例，可求出△ADG∽△AEB∽△APD；最后根据相似三角形的性质可得AD是∠GAH的平分线，可求出DG=DH，故DG=DF，即可解答．
【解析】
（1）过D点作DP垂直AE于点P；
SABCD=AB×AD，
SAEFG=AE×DP=×（AD×cos∠ADP），
∠BAE=∠ADP，
所以SAEFG=AB×AD，
所以，SAEFG=SABCD．

（2）因为平行四边形AEFG是矩形，四边形ABCD也是矩形；
所以∠ADC=∠FEA=90°，
则∠ADC+∠FEA=180°，
所以A、E、P、D四点在同一个圆上．

（3）相切．
过D作DH⊥AP于H；
∵∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠1，∠2=∠4，
∴△ADG∽△AEB，
∵D是FG的中点，
∴===2，
在△ADG与△APD中，===2；
∵DF=GD，
∴==2，
∵∠ADP=∠AGD=90°，
∴△ADG∽△AEB∽△APD，∴∠1=∠DAP，即AD是∠GAH的平分线，
∴DG=DH=DF，∵DP=DP，∠DHP=∠DFP=90°，
∴以FG为直径的圆与直线PA相切．