Question

如图：第一象限内的点A在一反比例函数图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B点，连接AO，已知△AOB的面积为4．①求反比例函数的解析式；②若点A的纵坐标为4，过点A的直线与x轴相交于点P，且△APB与△AOB相似，求所有符合条件的点P的坐标；③在②的条件下，求过P、O、A的抛物线的顶点坐标．

Answer

（1）求反比例函数的解析式实质求Y=中K值，因为△AOB的面积为4，所以K=8；
（2）△APB与△AOB相似，可能全等，也可能相似，所以有三个点满足条件；
（3）欲求过P、O、A的抛物线的顶点坐标，先求其解析式，知道P、O、A三点坐标，用待定系数法易求，即解．
【解析】
①设A（xA，yA）
∵
∵XA＞0，YA＞0
∴xAyA=8
设
∴xAyA=k
∴k=8．
∴设比例函数解析式为．（2分）

②∵yA=4，
∴xA=2
∴A（2，4）
∴OB=2，AB=4
当∠AP1B=∠AOB时，△AOB≌△APB
∴PB=OB=2，∴P1（4，0）（3分）
当∠AP2B=∠OAB时△AOB∽△P2AB
可以由∴BP2=8，∴P2（10，0）．（4分）
当P3在x轴负半轴上时，
且P3与P2关于点B对称也满足△AOB∽△P3BA
由P2（10，0），B（2，0），
∴P3（-6，0）．（5分）

③当抛物线经过P1（4，0），O（0，0），A（2，4）时
设解析式为y=ax2+bx+c
解
∴解析式为y=-x2+4x
∴顶点坐标是（2，4）（6分）
当抛物线经过P2（10，0），O（0，0），A（2，4）时
设所求抛物线为y=a2x2+b2x
则
∴
∴顶点坐标是（5，）．（8分）
设经过P3（-6，0），O（0，0），A（2，4）的解析式为：y=a3x2+b3x
则∴
∴抛物线的解析式是
∴顶点坐标是（3，）（10分）．