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如图,已知直线y=x与双曲线交于A,B两点,且点A的横坐标为4. (1)求k的值...

manfen5.com 满分网如图,已知直线y=manfen5.com 满分网x与双曲线manfen5.com 满分网交于A,B两点,且点A的横坐标为4.
(1)求k的值;
(2)若双曲线manfen5.com 满分网上一点C的纵坐标为8,求△AOC的面积;
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线manfen5.com 满分网于P,Q两点(P点在第一象限),若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.
(1)先根据直线的解析式求出A点的坐标,然后将A点坐标代入双曲线的解析式中即可求出k的值; (2)由(1)得出的双曲线的解析式,可求出C点的坐标,由于△AOC的面积无法直接求出,因此可通过作辅助线,通过其他图形面积的和差关系来求得.(解法不唯一); (3)由于双曲线是关于原点的中心对称图形,因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形,那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即6.可根据双曲线的解析式设出P点的坐标,然后参照(2)的三角形面积的求法表示出△POA的面积,由于△POA的面积为6,由此可得出关于P点横坐标的方程,即可求出P点的坐标. 【解析】 (1)∵点A横坐标为4, 把x=4代入y=x中 得y=2, ∴A(4,2), ∵点A是直线y=x与双曲线y=(k>0)的交点, ∴k=4×2=8; (2)解法一:如图, ∵点C在双曲线上, 当y=8时,x=1, ∴点C的坐标为(1,8). 过点A、C分别做x轴、y轴的垂线,垂足为M、N,得矩形DMON. ∵S矩形ONDM=32,S△ONC=4,S△CDA=9,S△OAM=4. ∴S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15; 解法二:如图, 过点C、A分别做x轴的垂线,垂足为E、F, ∵点C在双曲线上, 当y=8时,x=1, ∴点C的坐标为(1,8). ∵点C、A都在双曲线上, ∴S△COE=S△AOF=4, ∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF. ∴S△COA=S梯形CEFA. ∵S梯形CEFA=×(2+8)×3=15, ∴S△COA=15; (3)∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形, ∴OP=OQ,OA=OB, ∴四边形APBQ是平行四边形, ∴S△POA=S平行四边形APBQ×=×24=6, 设点P的横坐标为m(m>0且m≠4), 得P(m,), 过点P、A分别做x轴的垂线,垂足为E、F, ∵点P、A在双曲线上, ∴S△POE=S△AOF=4, 若0<m<4,如图, ∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF, ∴S梯形PEFA=S△POA=6. ∴(2+)•(4-m)=6. ∴m1=2,m2=-8(舍去), ∴P(2,4); 若m>4,如图, ∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE, ∴S梯形PEFA=S△POA=6. ∴(2+)•(m-4)=6, 解得m1=8,m2=-2(舍去), ∴P(8,1). ∴点P的坐标是P(2,4)或P(8,1).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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