Question

如图，在半径是4的⊙O中，点Q为优弧的中点，圆心角∠MON=60°，点P在（M点除外）上运动，设点P到弦MN的距离为x，△OMN的面积是S．
（1）求弦MN的长；
（2）试求阴影部分面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）试分析比较，当自变量x为何值时，阴影部分面积y与S的大小关系．

Answer

（1）根据∠MON的度数，我们可得出三角形MON应是个等边三角形，那么MN的长就是半径的长．
（2）在（1）中已经求得了MN的长，又知道了P到MN的距离也就是MN上的高，那么可根据三角形的面积计算公式得出y，x的函数关系式．如果过O作OH⊥NM于H，那么x的最大值就是OH+半径的长，那么可在直角三角形OMH中求出OH的长也就求出了x的取值范围．
（3）先计算出三角形OMN的面积，然后根据y与S的大小关系的不同得出不同的自变量的取值范围即可．
【解析】
（1）∵OM=ON，∠MON=60°
∴△MON是等边三角形
∴MN=ON=4

（2）作OH⊥MN于H点，∴MH=MN=2
y=S△PMN=4x，即y=2x
在Rt△OHM中，OH2=OM2-MH2
∴OH=2
∴0＜x≤4+2

（3）△OMN的面积S=4
令y=s，即2x=4
∴x=2
当x=2时，y=s
当0＜x＜2时，y＜s
当2时，y＞s．