Question

如图，E为矩形ABCD的边CD上的一点（CE＞DE），AE⊥BE．以AE为直径作⊙O，交AB于F．点G为BE的中点，连接FG．
（1）求证：FG为⊙O的切线；
（2）若CD=25，AD=12，求FG的长．

Answer

（1）要证明FG是⊙O的切线只要证明∠OFG=90°即可；
（2）设DE=x，则EC=25-x，由已知可求得△ADE∽△ECB，根据相似三角形的对应边成比例可求得DE的长，从而可求得CE的长；再根据勾股定理求得EB的长，么FG的长就不难求了．
【解析】
（1）连接OF、EF、OG；
∵AE是⊙O的直径，AF⊥EF，
∴∠AFE=90°=∠EFB=∠AEB，
又∵G是BE的中点，
∴EG=BE=FG；
∵OE=OF，OG=OG，
∴△OEG≌△OFG（SSS），
∴∠OFG=∠OEG=90°，
∴OF⊥FG，
∴FG为⊙O的切线．

（2）设DE=x，则EC=25-x；
∵四边形ABCD是矩形，AD=12，
∴∠D=∠C=90°，BC=AD=12，
∴∠CEB+∠CBE=90°；
由（1）知，∠AEB=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∴∠DEA=∠CBE，
∴△ADE∽△ECB，
∴，
∴，
解得，x1=9，x2=16；
当x=9时，25-x=16，即DE=9，EC=16；
当x=16时，25-x=9，即DE=16，EC=9；
∵CE＞DE，
∴不合题意舍去；
在Rt△ECB中，
∵EB2=EC2+BC2，
∴EB=，
由（1）知得，FG=EB=10．