Question

已知关于x的方程（a-2）x²-2（a-1）x+（a+1）=0，当a为何值时
（1）方程只有一个实数根；（不包括等根情况）
（2）方程有两个实数根；
（3）无实数根．

Answer

（1）方程只有一个实数根；（不包括等根情况），即方程是一元一次方程，则二次项系数等于0，一次项系数不等于0，从而求解；
（2）方程有两个实数根，则方程是一元二次方程，且△≥0，即可求得a的范围；
（3）方程无实数根，则判别式△＜0．
【解析】
（1）若方程只有一个实数根，并且不包括等根情况，
∴a-2=0，即a=2，
此时方程为：-2x+3=0，方程为一元一次方程，
∴一定只有一个实数根，
∴a=2时方程只有一个实数根（不包括等根情况）；
（2）若方程有两个实数根，
则a-2≠0，且△=b2-4ac=4（a-1）2-4（a-2）（a+1）≥0，
∴整理得出：
-4a+12≥0，
∴a≤3且a≠2，∴当a≤3且a≠2时方程有两个实数根；
（3）若方程无实数根，
则a-2≠0，且△=b2-4ac=4（a-1）2-4（a-2）（a+1）＜0，
∴a＜3．
∴当a＜3，且a≠2时，方程无实数根．