Question

如图，OA是△ABC的角平分线，以OA为半径的⊙O交AB于D，交AC于E，交BC于F、G．且∠DFE=60°，则∠BAC=    度，若，则=    ．

Answer

由于∠DFE=60°，∠BAC和∠DFE所对的弧组成一个圆，所以可知∠BAC=120°，连接OD、OE，由于∠BAC=120°，OA是角平分线，可知∠OAD=∠OAE=60°，而OA=OD=OE，易知△ODA、△OEA都是等边三角形，那么可得∠OEC=∠BDO=120°，易证四边形ADOE是菱形，则OA=OD=AD=AE，于是AB：AO=3：2，可得AB：AD=3：2，那么利用比例性质可得BD：AB=1：3，而OD∥AC，利用平行线分线段成比例定理可得BD：AB=OD：AC，即AC：OD=AB：BD，那么AC：AO=3：1．
【解析】
∵∠DFE=60°，∠BAC和∠DFE所对的弧组成一个圆，
∴∠BAC=120°，
连接OD、OE，
∵OA是∠BAC的平分线，
∴∠OAD=∠OAE=60°，
又∵OA=OD=OE，
∴△ODA、△OEA都是等边三角形，
∴∠OEC=∠BDO=120°，
∴∠OEC=∠BDO=BAC，
∴OE∥AB，OD∥AE，
∴四边形ADOE是平行四边形，
又∵OD=OE，
∴▱ADOE是菱形，
∴OA=OD=AD=AE，
又∵=，
∴AB：AD=3：2，
∴AB：BD=3：1，
又∵OD∥AC，
∴=，
又OD=OA，
∴=．