Question

已知关于x的方程
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）方程有两相等的实数根，利用△=0求出m的值．化简原方程求得方程的根．
（2）利用根与系数的关系x1+x2=-=4m-8，x1x2==4m2，x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，代入即可得到关于m的方程，求出m的值，再根据△来判断所求的m的值是否满足原方程．
【解析】
（1）∵a=，b=-（m-2），c=m2方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即△=b2-4ac=[-（m-2）]2-4××m2=-4m+4=0，
∴m=1．
原方程化为：x2+x+1=0 x2+4x+4=0，（x+2）2=0，
∴x1=x2=-2．

（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
∵x1+x2=-=4m-8，x1x2==4m2
x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（4m-8）2-2×4m2=8m2-64m+64=224，
即：8m2-64m-160=0，
解得：m1=10，m2=-2（不合题意，舍去），
又∵m1=10时，△=-4m+4=-36＜0，此时方程无实数根，
∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．