Question

如图1，两半径为r的等圆⊙O₁和⊙O₂相交于M，N两点，且⊙O₂过点O₁．过M点作直线AB垂直于MN，分别交⊙O₁和⊙O₂于A，B两点，连接NA，NB．
（1）猜想点O₂与⊙O₁有什么位置关系，并给出证明；
（2）猜想△NAB的形状，并给出证明；
（3）如图2，若过M的点所在的直线AB不垂直于MN，且点A，B在点M的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．

Answer

（1）通过证明圆心距等于半径得出点O2在⊙O1上；
（2）通过证明AB=BN=AN，从而得到△NAB是等边三角形；
（3）根据在同圆中等弧所对的圆周角相等，可求出∠MAN=60°，∠MBN=60度．从而求证得△NAB是等边三角形．
【解析】
（1）O2在⊙O1上，
证明：∵⊙O2过点O1，
∴O1O2=r，
又∵⊙O1的半径也是r，
∴点O2在⊙O1上；

（2）△NAB是等边三角形，
证明：∵MN⊥AB，
∴∠NMB=∠NMA=90度，
∴BN是⊙O2的直径，AN是⊙O1的直径，
即BN=AN=2r，O2在BN上，O1在AN上．
连接O1O2，则O1O2是△ABN的中位线．
∴AB=2O1O2=2r，
∴AB=BN=AN，则△NAB是等边三角形．

（3）仍然成立．
证明：由（2）得在⊙O1中所对的圆周角为60度，
在⊙O2中所对的圆周角为60度，
∴当点A，B在点M的两侧时，
在⊙O1中所对的圆周角∠MAN=60°，
在⊙O2中所对的圆周角∠MBN=60°，
∴△NAB是等边三角形．
（2），（3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分．