Question

如图（1），在平面直角坐标系中，Rt△ABC的AC边与x轴重合，且点A在原点，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=2，又一直径为2的⊙D与x轴切于点E（1，0）；
（1）若Rt△ABC沿x轴正方向移动，当斜边AB与⊙D相切时，试写出此时点A的坐标；
（2）当Rt△ABC的边BC移动到与y轴重合时，则把Rt△ACB绕原点O按逆时针方向旋转，使斜边AB恰好经过点F（0，2），得Rt△A′B′O，AB分别与A′O、A′B′相交于M、N，如图（2）所示．
①求旋转角∠AOA′的度数；
②求四边形FOMN的面积．（结果保留根号）

Answer

（1）分情况考虑：第一次和圆相切时；第二次和圆相切时．应连接圆心和切点，构造三角形求解；
（2）①容易判断出△A′OF是等边三角形，那么∠AOA'=30°；
②SFOMN=S△FOA-S△A'MN．
【解析】
（1）
当在左边相切时，∠OA′G=∠COB=60°，
∴∠DA'G=∠DA'E=60°，
∴A'E=，此时点A坐标为（1-，0），
同理，当在右边相切时，A''E=，此时点A''的坐标为（1+，0）．
综上可得A（1-，0）或A（1+，0）；

（2）①∵Rt△ACB旋转得Rt△A′B′O，
∴Rt△ACB≌Rt△A′B′O．
∴∠A=∠A’=60°AO=A′O．
∵OF=OA=2，
∴△A′OF是等边三角形．
∴∠A′OF=60°．
∴∠AOA′=30°．

②在△AMO中，∠OAM=60°，∠AOA′=30°，
∴∠AMO=90°，AM=OA=×2=1，ON=，MN=；
∴A′N=A′F-NF=A′O-NO=2-，MN=，A′N=（2-）；
∴S△A'MN=A′N•MN=（2-）2=-6．
过点F作FG⊥OA′于G，则FG=，
∴S△FOA′=OA′•FG=×2×=；
∴SFOMN=S△FOA-S△A'MN=-（-6）=6-．
∴四边形FOMN的面积是（6-）平方单位．