Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴的一个交点是A，与y轴的交点是B，且OA、OB（OA＜OB）的长是方程x²-6x+5=0的两个实数根．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求出此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（3）求出此抛物线与x轴的另一个交点C的坐标；
（4）在直线BC上是否存在一点P，使四边形PDCO为梯形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）解方程求出A，B的坐标．
（2）A，B坐标代入y=-x2+bx+c确定解析式和D点坐标．
（3）四边形PDCO为梯形就有直线平行线，通过直线解析式建立方程组确定点的坐标．
【解析】
（1）∵x2-6x+5=0的两个实数根为x1=1，x2=5
OA、OB（OA＜OB）的长是方程x2-6x+5=0的两个实数根
∴OA=1，OB=5
∴A（1，0），B（0，5）（2分）

（2）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴的一个交点是A，与y轴的交点是B
∴
解得：
∴所求二次函数的解析式为：y=-x2-4x+5（3分）
顶点坐标为：D（-2，9）（4分）

（3）此抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为（-5，0）（5分）

（4）直线CD的解析式为：
y=3x+15（6分）
直线BC的解析式为：
y=x+5（7分）
∵以CD为底，则OP∥CD
直线OP的解析式为：y=3x
于是有
解得：
∴点P的坐标为（（8分）
②若以OC为底，则DP∥CO
直线DP的解析式为：y=9
于是有
解得：
∴点P的坐标为（4，9）（9分）
∴在直线BC上存在点P，使四边形PDCO为梯形且P点坐标为（或（4，9）（10分）