Question

如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为等边三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．
（1）判断点C是否为弧OB的中点？并说明理由；
（2）求B、C两点的坐标；
（3）求直线CD的函数解析式；
（4）点P在线段OB上，且满足四边形OPCD是等腰梯形，求点P坐标．

Answer

（1）利用90°的圆周角所对的弦是直径得AC是直径，求的角ABC=90°，再利用等边三角形的性质可求出∠CBO和∠COB，由此得到C为弧OB的中点的结论．
（2）要求点的坐标就要知道它到两坐标轴的距离．因此要过B点作x轴的垂线，再利用特殊角求出有关线段，确定B，C两点坐标．
（3）先通过特殊角计算来得到D点坐标，再用待定系数法求直线CD的函数解析式．
（4）利用等腰梯形的性质和特殊角推出PC=PO，再利用特殊角度求P点坐标．
【解析】
（1）C为弧OB的中点．理由如下：
连接AC；∵OC⊥OA，
∴AC为圆的直径，（1分）
∴∠ABC=90°；
∵△OAB为等边三角形，
∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，
∵∠ACB=∠AOB=60°，
∴∠COB=∠OBC=30°，
∴弧OC=弧BC；（2分）
即C为弧OB的中点．

（2）过点B作BE⊥OA于E；
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴OE=1，BE=，
∴点B的坐标是（1，）；（3分）
∵C为弧OB的中点，CD是圆的切线，AC为圆的直径，
∴AC⊥CD，AC⊥OB，
∴∠CAO=∠OCD=30°，
∴，
∴C（0，）；（4分）

（3）在△COD中，∠COD=90°，，
∵∠OCD=∠CAO=∠COD=30°，
∴DC=2DO，
∵CD2=DO2+CO2，
∴（2OD）2=DO2+CO2，
∴OD=，
则有D（-，0）；（5分）
∴直线CD的解析式为：（6分）

（4）∵四边形OPCD是等腰梯形，
∴∠CDO=∠DCP=60°，（7分）
∴∠OCP=∠COB=30°，
∴PC=PO（8分）；
过点P作PF⊥OC于F，则OF=OC=，
∴PF=，
∴点P的坐标为：（，）．（9分）