Question

如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．
（1）求证：DE=DA；
（2）找出图中一对相似三角形，并证明．

Answer

（1）由于CE⊥BD，则∠CED=90°，而∠BDC=60°，则∠DCE=30°，在Rt△CDE中就有CD=2DE，又CD=2DA，等量代换有2DE=2DA，再利用等式性质有DE=DA；
（2）△ACE∽△AED．由于DE=DA，∠BDC=60°，利用三角形内角和定理、等边对等角、三角形外角的性质可求∠AED=∠EAD=30°，于是∠ADE=120°，∠AEC=120°，那么∠ADE=∠AEC，∠EAD=∠CAE，故△ACE∽△AED．
【解析】
（1）证明：∵CE⊥BD于E，∠BDC=60°，
∴∠DCE=30°，
∴CD=2DE，
又∵CD=2DA，
∴DE=DA；

（2）△ACE∽△AED．
∵DE=DA，∠BDC=60°，
∴∠DEA=∠DAE=30°，∠ADE=120°，
∵∠CEA=∠CED+∠AED=120°，
∴∠DCE=∠DEA=30°，∠CEA=∠ADE=120°，
∴△ACE∽△AED．