Question

如图，半径为1的⊙O₁与x轴交于A、B两点，圆心O₁的坐标为（2，0），二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A、B两点，其顶点为F．
（1）求b，c的值及二次函数顶点F的坐标；
（2）将二次函数y=-x²+bx+c的图象先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为C，在经过点B和点D（0，-3）的直线l上是否存在一点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知圆心O1的坐标为（2，0），半径为1，可知A（1，0），B（3，0），将两点坐标代入抛物线解析式可求b、c的值，将抛物线解析式写成顶点式，可求顶点F坐标；
（2）由（1）可知抛物线顶点坐标为（2，1），平移后顶点坐标为C（0，0），易求直线l的解析式为y=x-3，根据直线l的特殊性，可求点A关于直线l的对称点A1的坐标，再求直线CA1的解析式，将直线CA1的解析式与直线l的解析式联立，解方程组可求P点坐标．
【解析】
（1）由题意得，A（1，0），B（3，0），
则有．
解得（2分）
∴二次函数的解析式为y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1．
∴顶点F的坐标为（2，1）．（3分）

（2）将y=-（x-2）2+1平移后的抛物线解析式为y=-x2，其顶点为C（0，0）．（4分）
∵直线l经过点B（3，0）和点D（0，-3），
∴直线l的解析式为y=x-3．（5分）
作点A关于直线l的对称点A1，连接BA1、CA1，
∴AA1⊥直线l，
设垂足为E，则有A1E=AE，
由题意可知，∠ABE=45°，AB=2，
∴∠EBA1=45°，A1B=AB=2．
∴∠CBA1=90°．
过点A1作CD的垂线，垂足为F，
∴四边形CFA1B为矩形．
∴FA1=OB=3．
∴A1（3，-2）．（6分）
∴直线CA1的解析式为．（7分）
∵的解为
∴直线CA1与直线l的交点为点P（，-）．