Question

a、b为实数，关于x的方程x²+ax+b=2和x²+ax+b=-2共有三个不相等的实数根：
（1）求证：a²-4b-8=0
（2）若该方程的三个不相等的实数根恰为一直角三角形的三边长，求此三角形的三边的长度．

Answer

（1）由于关于x的方程x2+ax+b=2和x2+ax+b=-2共有三个不相等的实数根，所以有三种情况：
①两个方程都有不相等的两个实数根，但两个方程有一个相同的根；
②第一个方程有两个不同的实数根，第二个方程有两个相等的实数根；
③第一个方程有两个相同的实数根，第二个方程有两个不相等的实数根；然后结合方程的形式讨论其中只有②成立，由此即可证明题目的结论；
（2）利用（1）知道第一个方程有两个不同的实数根，第二个方程有两个相等的实数根，然后利用根与系数的关系及已知条件即可求出结果．
【解析】
（1）∵关于x的方程x2+ax+b=2和x2+ax+b=-2共有三个不相等的实数根，
∴有三种情况：
①两个方程都有不相等的两个实数根，但两个方程有一个相同的根；
设相同的根是t，将t代入这组方程得到，
t2+at+b=2
t2+at+b=-2
这种情况不可能，所以排除；
②第一个方程有两个不同的实数根，第二个方程有两个相等的实数根；
此时x2+ax+b=-2可以变为x2+ax+b+2=0，
∴△=a2-4b-8=0；
③第一个方程有两个相同的实数根，第二个方程有两个不相等的实数根，
此时x2+ax+b=2可以变为x2+ax+b-2=0，
∴△=a2-4b+8=0，
设x1=x2=t，
∴x1+x2=-a，x1x2=b-2，
第二个方程中设x3和x4是方程的根，
∴x3+x4=-a，x3x4=b+2，
∵x1x2=b-2，
∴t=，
∴x3+x4=-a=2，x3x4=b+2，
由这组关系式用韦达定理可以将x3，x4看做方程
x2-2x+b+2=0的解，
然而x2-2x+b+2=（x-2）2+4，这个关系式大于0，
所以该方程无解，也就是第三种情况不存在；

（2）∵第二种情况存在，
设x1、x2是第一个方程的根，x3、x4是第二个方程的根
∴由韦达定理知x1+x2=-a，x1x2=b-2，x3+x4=-a，x3x4=b+2．
设x3=x4=t（t＞0）
那么t2=b+2，得t=，
∵a2-4b-8=0，
∴a2=4b+8，
∴a=-2，
∴x1+x2=2，x1x2=b-2，
解得x1=+2，x2=-2
∵x1，x2，t构成直角三角形三条边，
∴（+2）2=（-2）2+（）2
解得b=62，
∴x1=+2=8+2=10，
x2=-2=8-2=6，
t==8；
故直角三角形三条边长分别是6，8，10（从小到大）．