Question

某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？

Answer

根据题意可得到函数关系式，并得到x的取值范围．再得到总利润的函数式，两个式子结合起来，可得到定价．
【解析】
（1）由题意，y=150-10x，0≤x≤5且x为整数；
（2）设每星期的利润为w元，
则w=（40+x-30）y
=（x+10）（150-10x）
=-10（x-2.5）2+1562.5
∵x为非负整数，
∴当x=2或3时，利润最大为1560元，
又∵销量较大，
∴x=2，即当售价为42元时，每周的利润最大且销量较大，最大利润为1560元．