Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于B（-1，0），A（3，0）两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设此抛物线与直线y=-x在第二象限交于点D，平行于y轴的直线与抛物线交于点M，与直线y=-x交于点N，连接BM、CM、NC、NB，是否存在m的值，使四边形BNCM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A，B的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c确定解析式．
（2）A，B关于对称轴对称，BC与对称轴的交点就是点Q．
（3）四边形BNCM的面积等于△MNB面积+△MNC的面积．
【解析】
（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于B（-1，0）、A（3，0）两点，
将A、B两点坐标代入抛物线方程，得到：-1-b+c=0，-9+3b+c=0
解得：b=2，c=3
所以，该抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；（2分）

（2）存在（1分）
∵由前面的计算可以得到，C（0，3），且抛物线的对称轴为直线x=1（1分）
∴由抛物线的对称性，点A、B关于直线x=1对称，
∴当QC+QA最小时，△QAC的周长就最小
∴当点Q在直线BC上时QC+QA最小，（1分）
此时：直线BC的解析式为y=x+3，
当x=1时，y=4，
∴在该抛物线的对称轴上是否存在点Q（1，4），使得△QAC的周长最小（2分）

（3）由题意，M（m，-m2-3m+4），N（m，-m）（2分）
∴线段MN=-m2-3m+4-（-m）=-m2-2m+4=-（m+1）2+5
∵S四边形BNCM=S△BMN+S△CMN=0.5MN×BO=2MN=-2（m+1）2+10（2分）
∴当m=-1时（在内），四边形BNCM的面积S最大．（1分）