Question

如图，圆内接四边形ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，AC=2，则四边形ABCD的面积为（ ）

A．4
B．2
C．
D．

Answer

连接BD，在AC上取CE=CD，连接DE，作AF⊥BC，交BC延长线于F，作AG⊥DC，交CD于G，先证明△ABD是等边三角形，再证明△CDE同样是等边三角形，可得BC+CD=AC=2，在构造的直角三角形中利用三角函数分别求出△ABC和△ACD的高，根据四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD即可求解．
【解析】
连接BD，
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形．
在AC上取CE=CD，连接DE，
∵∠ECD=∠ABD=60°，
∴△CDE同样是等边三角形，
∴CE=CD=DE，BD=AD，∠ADE=∠ADB-∠EDB，∠BDC=∠EDC-∠EDB，
∴∠ADE=∠BDC，
∴△ADE≌△BDC，
∴AE=BC，
∴BC+CD=AC=2
作AF⊥BC，交BC延长线于F，作AG⊥DC，交CD于G，
∠ACB=∠ADB=60°（同弧圆周角相等）
AF=ACsin60°=×2=
同理，AG=ACsin60°=，
四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=BC•AF+AG•CD=×（BC+CD）=AC=．
故选D．