Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，D是AC边上一点，∠A=36°，∠ADB=108°．
求证：（1）AD=BD=BC；（2）写出CD与AD的比值．（不用给出解答过程）

Answer

（1）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和可求出所有的角，然后根据角相等得到边相等．
（2）证明△BCD∽△ABC，再由（1）AD=BD=BC，可得到CD与AD的比值．
证明：（1）在△ADB中，∠ABD=180°-36°-108°=36°，
∴AD=BD．
又∵AB=AC，
∴∠C=（180°-36°）÷2=72°．
而∠BDC=180°-108°=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC．

（2）由（1）知△BDC和△ABC都是顶角为36°的等腰三角形，
所以△BDC∽△ABC，
∴．
又∵AD=BD=BC，AB=AC，
∴AD2=AB•DC=（AD+DC）DC，即DC2+AD•DC-AD2=0，
解关于DC的一元二次方程得DC=AD（负号舍去），
所以．