Question

如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．

（1）证明PA是⊙O的切线；

（2）求点B的坐标；

（3）求直线AB的解析式．

Answer

解；（1）证明：依题意可知，A（0，2），

∵A（0，2），P（4，2），∴AP∥x轴。

∴∠OAP=900，且点A在⊙O上。∴PA是⊙O的切线。

（2）连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D，

∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP=900，即∠OBP=∠PEC。

又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC，

∴△OBC≌△PEC（AAS）。∴OC=PC。

设OC=PC=x，则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，

在Rt△PCE中，∵PC2=CE2+PE2，即x2=(4－x)2+22，解得x=。

∴BC=CE=4－=。

∵OB·BC=OC·BD，即×2×=××BD，∴BD=。

∴。

由点B在第四象限可知B（，）。

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，

由A（0，2），B（，），可得，解得 。

∴直线AB的解析式为y=－2x+2。

【解析】

试题分析：（1） 点A在圆上，要证PA是圆的切线，只要证PA⊥OA（∠OAP=900）即可，由A、P两点纵坐标相等可得AP∥x轴，所以有∠OAP+∠AOC=1800得∠OAP=900。

（2） 要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B到x轴、y轴的距离，自然想到构造Rt△OBD，由PB又是⊙O的切线，得Rt△OAP≌△OBP，从而得△OPC为等腰三角形，在Rt△PCE中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出关于CE的方程可求出CE、OC的长，△OBC的三边的长知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得点B的坐标。

（3）已知点A、点B的坐标用待定系数法可求出直线AB的解析式。