Question

某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

●操作发现：

在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是        （填序号即可）

①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．

●数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；

●类比探索：

在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．

答：        ．

Answer

【解析】

●操作发现：①②③④。

●数学思考：答：MD=ME，MD⊥ME， 证明如下：

１、MD=ME：

如图，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，

∵M是BC的中点，∴MF∥AC，MF=AC。

又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线，

∴EG⊥AC且EG=AC。

∴MF=EG。

同理可证DF=MG。

∵MF∥AC，∴∠MFA＋∠BAC=1800。

同理可得∠MGA+∠BAC=1800。

∴∠MFA=∠MGA。

又∵EG⊥AC，∴∠EGA=900。

同理可得∠DFA=900。

∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，即∠DFM=∠MEG。

又MF=EG，DF=MG，∴△DFM≌△MGE（SAS）。∴MD=ME。

2、MD⊥ME：

∵MG∥AB，∴∠MFA+∠FMG=1800。

又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG=∠MDF。

∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=1800。

∵∠MFA+∠FMD+∠MDF=900，∴∠DME=90°，即MD⊥ME。

●类比探究：答：等腰直角三解形。

【解析】

试题分析：（1） 由图形的对称性易知①、②、③都正确，④∠DAB=∠DMB=450也正确。

（2）受图1△DFM≌△MGE的启发，应想到取中点构造全等来证MD=ME，证MD⊥ME就是要证∠DME=900，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF, △DFM中四个角相加为180°，∠FMG可看成三个角的和，通过变形计算可得∠DME=900。

（3）在（2）的基础易知为等腰直角三解形。