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如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿...

如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=xcm(x≠0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.
(1)当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形;
(2)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形;
(3)以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求x的值;如果不能,请说明理由.

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(1)以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合,此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm;或者点Q、M重合且点P、N不重合,此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC=BC即x+3x=20cm.所以可以根据这两种情况来求解x的值. (2)以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形的话,因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧.当点P在点N的左侧时,AP=MC,BQ=ND;当点P在点N的右侧时,AN=MC,BQ=PD.所以可以根据这些条件列出方程关系式. (3)如果以P,Q,M,N为顶点的四边形为等腰梯形,则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm,AP=ND即2x=x2,BQ=MC即x=3x,x≠0.这些条件不能同时满足,所以不能成为等腰梯形. 【解析】 (1)当点P与点N重合或点Q与点M重合时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形. ①当点P与点N重合时,由x2+2x=20,得x1=-1,x2=--1(舍去). 因为BQ+CM=x+3x=4(-1)<20,此时点Q与点M不重合. 所以x=-1符合题意. ②当点Q与点M重合时,由x+3x=20,得x=5. 此时DN=x2=25>20,不符合题意. 故点Q与点M不能重合. 所以所求x的值为-1. (2)由(1)知,点Q只能在点M的左侧, ①当点P在点N的左侧时, 由20-(x+3x)=20-(2x+x2), 解得x1=0(舍去),x2=2. 当x=2时四边形PQMN是平行四边形. ②当点P在点N的右侧时, 由20-(x+3x)=(2x+x2)-20, 解得x1=-10(舍去),x2=4. 当x=4时四边形NQMP是平行四边形. 所以当x=2或x=4时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形. (3)过点Q,M分别作AD的垂线,垂足分别为点E,F. 由于2x>x, 所以点E一定在点P的左侧. 若以P,Q,M,N为顶点的四边形是等腰梯形, 则点F一定在点N的右侧,且PE=NF, 即2x-x=x2-3x. 解得x1=0(舍去),x2=4. 由于当x=4时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形, 所以以P,Q,M,N为顶点的四边形不能为等腰梯形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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