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已知关于x的一元二次方程x2+k(x-1)-1=0 (1)求证:无论k取何值,这...

已知关于x的一元二次方程x2+k(x-1)-1=0
(1)求证:无论k取何值,这个方程总有两个实数根;
(2)是否存在正数k,使方程的两个实数根x1,x2满足x12+kx1+2x1x2=7-3(x1+x2)?若存在,试求出k的值;若不存在,请说明理由.
(1)求证无论k取何值,这个方程总有两个实数根,即是证明方程的判别式△≥0即可; (2)本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查,两根之和等于-,两根之积等于. x12+kx1+2x1x2=7-3(x1+x2),即可用k的式子进行表示,求得k的值,然后判断是否满足实际意义即可. 【解析】 (1)方程x2+k(x-1)-1=0可化为x2+kx-k-1=0, 由于△=k2+4k+4=(k+2)2≥0, 所以方程有两个实数根. (2)假设存在正数k,满足x12+kx1+2x1x2=7-3(x1+x2), 由于x1,x2是方程的两个实数根, ∴把x=x1代入得:x12+kx1-k-1=0, ∴x12+kx1=k+1,x1+x2=-k,x1x2=-k-1, 即k+1+2(-k-1)=7+3k, 解得k=-2,这与题设k>0相矛盾. ∴满足条件的正数k不存在.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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