Question

如图，在直角坐标系中，已知点P的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP的2倍，得到线段OP₁；又将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂，如此重复操作下去，得到线段OP₃，OP₄，…，则：
（1）点P₅的坐标为    ；
（2）落在x轴正半轴上的点P_n坐标是    ，其中n满足的条件是n=8k（k=0，1，2…的整数）．

Answer

（1）由于点P的坐标为（1，0），将线段OP按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP的2倍，得到线段OP1=2，那么P1的坐标为（，），又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2=4，那么P2的坐标为（0，4），由此类推P3的坐标为（-4，4），P4的坐标为（16，0），P5的坐标为（-16，-16）；
（2）如果通过旋转最后落在x轴正半轴上，由于每次旋转45°，所以可以求出需要360°÷45°=8次才能落在x轴正半轴上，并且每旋转一次OP扩大一倍，那么旋转到点Pn的坐标可以求出了．
【解析】
（1）∵点P的坐标为（1，0），
而将线段OP按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP的2倍，
∴线段OP1=2，
∴P1的坐标为（，），
又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，
∴线段OP2=4，
∴P2的坐标为（0，4），
由此类推P3的坐标为（-4，4），P4的坐标为（16，0），P5的坐标为（-16，-16）；

（2）∵通过旋转最后落在x轴正半轴上，而每次旋转45°，
∴需要旋转360°÷45°=8次才能落在x轴正半轴上，
并且每旋转一次OP扩大一倍，
∴OPn=2n，
∴旋转到点Pn的坐标为（2n，0），其中n满足的条件是n=8k（k=0，1，2…的整数）．