Question

已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD=BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．
（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF=∠BNE（不需证明）；
（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

Answer

两题思路基本相同，都需要作出两条辅助线，两次运用中位线定理解答．
【解析】
图1：∠AMF=∠ENB；
图2：∠AMF=∠ENB；
图3：∠AMF+∠ENB=180°．

证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF．
∵F是DC的中点，H是AC的中点，
∴HF∥AD，HF=AD，
∴∠AMF=∠HFE，
同理，HE∥CB，HE=CB，
∴∠ENB=∠HEF．
∵AD=BC，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠ENB=∠AMF．

如图3：取AC的中点H，连接HE、HF．
∵F是DC的中点，H是AC的中点，
∴HF∥AD，HF=AD，
∴∠AMF+∠HFE=180°，
同理，HE∥CB，HE=CB，
∴∠ENB=∠HEF．
∵AD=BC，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠AMF+∠ENB=180°．