Question

如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

Answer

（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；
（2）证明△AOF≌△COE即可；
（3）EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，可根据勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB⊥AC，∴∠AOB=45°．
（1）证明：当∠AOF=90°时，AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形．（3分）

（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
在△AOF和△COE中
∵．
∴△AOF≌△COE（ASA）．
∴AF=EC． （4分）

（3）【解析】
四边形BEDF可以是菱形．（5分）
理由：如图，连接BF，DE
由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，
∴EF与BD互相平分．
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．（6分）
在Rt△ABC中，AC===2，
∴OA=1=AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，（7分）
∴∠AOF=45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．（9分）