Question

如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．

Answer

（1）在Rt△BDG与Rt△EDA；根据边角边定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；
（2）连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得BG=AE；
（3）根据（2）的结论，求BG的最大值，分析可得此时F的位置，由勾股定理可得答案．
【解析】
（1）BG=AE，
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=DA，
又∵正方形DEFG中：GD=DE，∠GDB=∠EDA；
∴Rt△BDG≌Rt△ADE；
∴BG=AE；

（2）成立：
证明：连接AD，
∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∵EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE，
在△BDG和△ADE中，

∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE；

（3）由（2）可得BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值；
分析可得：当旋转角度为270°时，BG=AE最大值为1+2=3，
此时如图：AF=．