Question

在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A₁B₁C₁，使点C_l落在直线BC上（点C_l与点C不重合），
（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB_l与边CB的位置关系，并加以证明；
（2）当∠C=60°时，写出边AB_l与边CB的位置关系（不要求证明）；
（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB₁C₁（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．

Answer

（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．
（2）当∠C=60°时，写出边ABl与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．
（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．
【解析】
（1）AB1∥BC．
证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，
∴∠BAC=∠B1AC1，∠B1AB=∠C1AC，
∵AC1=AC，
∴∠AC1C=∠ACC1，
∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°，
∴∠C1AC=180°-2∠ACC1，
同理，在△ABC中，
∵BA=BC，
∴∠ABC=180°-2∠ACC1，
∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB，
∴AB1∥BC．（5分）

（2）如图1，∠C=60°时，AB1∥BC．（7分）

（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．
证明：显然△ABC≌△AB1C1，
∴∠BAC=∠B1AC1，
∴∠B1AB=∠C1AC，
∵AC1=AC，
∴∠AC1C=∠ACC1，
∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°，
∴∠C1AC=180°-2∠ACC1，
同理，在△ABC中，
∵BA=BC，
∴∠ABC=180°-2∠ACC1，
∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB，
∴AB1∥BC．（13分）