Question

如图，在△ABC中，∠A=45°，以BC为直径的⊙O与AB，AC交于E，F．
（1）当AB=AC时，求证：EO⊥FO；
（2）如果AB≠AC，那么EO⊥FO是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

Answer

（1）易得∠B=∠C=67.5°，那么可得∠BOE=∠FOC=45°，可求得EO⊥FO；
（2）方法基本同（1），需证得∠BOE+∠FOC=90°．
（1）证明：∵∠A=45°AB=AC，
∴∠B=∠C=67.5°．
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠B=67.5°．
∴∠EOB=45°．
同理∠FOC=45°．
∴∠EOF=90°．

（2）【解析】
EO⊥FO仍然成立．
证明：∵∠A=45°，
∴∠B+∠C=135°．
∵OE=OB，OC=OF，
∴∠OEB=∠B，∠OFC=∠C．
∴∠OEB+∠OFC+∠B+∠C=270°．
∴∠BOE+∠FOC=90°．
∴∠EOF=90°．