Question

如图①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．
（1）求证：∠DAC=∠BAC；
（2）若把直线EF向上平行移动，如图②，EF交⊙O于G、C两点，若题中的其它条件不变，这时与∠DAC相等的角是哪一个？为什么？

Answer

（1）连接OC，根据切线的性质定理以及等角的余角相等即可证明；
（2）构造直径所对的圆周角，根据等弧所对的圆周角相等以及等角的余角相等，发现∠BAC=∠GAD，再根据等式的性质即可证明∠BAG=∠DAC．
（1）证明：连接OC；
∵EF切⊙O于点C，
∴OC⊥EF，
∴∠1+∠4=90°；
∵AD⊥EF，
∴∠3+∠4=90°；
又∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
即∠DAC=∠BAC．

（2）【解析】
∠BAG=∠DAC，理由如下：
连接BC；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，∠B+∠BAC=90°，
∵∠AGD+∠GAD=90°，
又∵∠B=∠AGD，
∴∠BAC=∠GAD；
即∠BAG+∠GAC=∠GAC+∠DAC，
∴∠BAG=∠DAC．