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如图①,②,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(4,0),以点A为圆心,4为...

如图①,②,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(4,0),以点A为圆心,4为半径的圆与x轴交于O,B两点,OC为弦,∠AOC=60°,P是x轴上的一动点,连接CP.
(1)求∠OAC的度数;
(2)如图①,当CP与⊙A相切时,求PO的长;
(3)如图②,当点P在直径OB上时,CP的延长线与⊙A相交于点Q,问PO为何值时,△OCQ是等腰三角形?

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(1)OA=AC首先三角形OAC是个等腰三角形,因为∠AOC=60°,三角形AOC是个等边三角形,因此∠OAC=60°; (2)如果PC与圆A相切,那么AC⊥PC,在直角三角形APC中,有∠PCA的度数,有A点的坐标也就有了AC的长,可根据余弦函数求出PA的长,然后由PO=PA-OA得出OP的值. (3)本题分两种情况: ①以O为顶点,OC,OQ为腰.那么可过C作x轴的垂线,交圆于Q,此时三角形OCQ就是此类情况所说的等腰三角形;那么此时PO可在直角三角形OCP中,根据∠COA的度数,和OC即半径的长求出PO. ②以Q为顶点,QC,QD为腰,那么可做OC的垂直平分线交圆于Q,则这条线必过圆心,如果设垂直平分线交OC于D的话,可在直角三角形AOQ中根据∠QAE的度数和半径的长求出Q的坐标;然后用待定系数法求出CQ所在直线的解析式,得出这条直线与x轴的交点,也就求出了PO的值. 【解析】 (1)∵∠AOC=60°,AO=AC, ∴△AOC是等边三角形, ∴∠OAC=60°. (2)∵CP与⊙A相切, ∴∠ACP=90°, ∴∠APC=90°-∠OAC=30°; 又∵A(4,0), ∴AC=AO=4, ∴PA=2AC=8, ∴PO=PA-OA=8-4=4. (3)①过点C作CP1⊥OB,垂足为P1,延长CP1交⊙A于Q1; ∵OA是半径, ∴, ∴OC=OQ1, ∴△OCQ1是等腰三角形; 又∵△AOC是等边三角形, ∴P1O=OA=2; ②过A作AD⊥OC,垂足为D,延长DA交⊙A于Q2,CQ2与x轴交于P2; ∵A是圆心, ∴DQ2是OC的垂直平分线, ∴CQ2=OQ2, ∴△OCQ2是等腰三角形; 过点Q2作Q2E⊥x轴于E, 在Rt△AQ2E中, ∵∠Q2AE=∠OAD=∠OAC=30°, ∴Q2E=AQ2=2,AE=2, ∴点Q2的坐标(4+,-2); 在Rt△COP1中, ∵P1O=2,∠AOC=60°, ∴, ∴C点坐标(2,); 设直线CQ2的关系式为y=kx+b,则 , 解得, ∴y=-x+2+2; 当y=0时,x=2+2, ∴P2O=2+2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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