Question

如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，
（1）求的长；
（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN=60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；
（2）先求出直线M1N1与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论．
【解析】
（1）连接OE、OF，
∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，
∴∠A=90°，∠OEA=∠OFA=90°
∴四边形AFOE是正方形
∴∠EOF=90°，OE=AE=
∴的长==π．

（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M1N1，切点为R，交AD于M1，交BC于N1，
连接OM1、OR，
∵M1N1∥MN
∴∠DM1N1=∠DMN=60°
∴∠EM1N1=120°
∵MA、M1N1切⊙O于点E、R
∴∠EM1O=∠EM1N1=60°
在Rt△EM1O中，EM1===1
∴DM1=AD-AE-EM1=+5--1=4．
过点D作DK⊥M1N1于K
在Rt△DM1K中
DK=DM1×sin∠DM1K=4×sin∠60°=2即d=2，
∴当d=2时，直线MN与⊙O相切，
当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，
当直线MN平移到过圆心O时，记为M2N2，点D到M2N2的距离d=DK+OR=2+=3＞4，
∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．